《函数的零点》

　　一、教学分析

　　(一)内容分析

　　本节课选自《苏教版数学必修1》第三章第四节《函数的应用》的第一部分《函数与方程》，函数与方程是中学数学的重要内容，它是初等数学的基础，又是初等数学与高等数学的链接纽带，也是中学的四大数学思想之一，在高中数学中占有非常重要的地位.《函数的零点》是学生在学过函数的概念和性质，以及指对幂函数的基础上进行教学的.函数的零点实质是方程的根，是函数图象与x轴交点的横坐标，它们三者之间可以相互转化，也是数形结合的思想的具体体现.

　　新课标(2017版)对“函数的应用”提出如下要求：

　　结合学过的函数图象，了解函数的零点与方程根的联系.根据具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路，并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解二分法求方程近似解具有一般性.

　　可见，课标只要求以具体函数 (特别是二次函数) 为载体，了解函数的零点与方程的根的联系;同时，课标强调了通过函数图象的直观，让学生了解零点存在定理和二分法求解方程近似解的原理.

　　因此，本节课的内容，旨在让学生学习用函数的性质解决问题(会判断方程在某一区间上是否有解)，体会函数与方程之间的联系性，而在数学原理上没有过高要求.

　　(二)学情分析

　　1.知识基础：学生通过在初中、高中函数的学习，对一些函数模型的研究，具备了知识基础.

　　2.思想方法：学生已经具有研究函数的一般套路与方法，定性、定量、数、形等;尤其是初中“三个一次”、“用一元二次函数求一元二次方程的近似解”的学习，帮助学生具备了思想方法基础.

　　3.探究能力：学习的经历保证了学生具备一定的探究学习能力.

　　4.数学活动经验：通过初中“一次函数、一元一次方程和一元一次不等式”、“二次函数与一元二次方程”、初高中函数等内容的学习，学生具有比较好的数学活动经验.

　　二、教学目标

　　1.理解函数零点的概念，领会函数零点与相应方程根的关系;

　　2.掌握零点存在的判定条件;

　　3.体验并理解函数与方程的相互转化、从特殊到一般的数学思想方法.

　　通过这节课的学习，

　　(1)能针对具体方程 (如二次方程)，说明方程的根、相应函数图象与轴的交点以及相应函数零点的关系;

　　(2)能借助具体函数的图象，解释“函数零点存在性定理”的条件是充分而不必要条件;

　　(3)能利用函数图象和定理判断某些函数是否存在零点;

　　(4)能将一个方程求解问题转化为一个函数零点问题，即函数应用.

　　三、教学重点和难点

　　重点：零点的概念及存在性的判定

　　难点：零点存在性的判定

　　四、教学资源

　　自制PPT幻灯片和学生活动单

　　五、教学设计思路

　　通过数学史上解方程比赛的故事、以及解方程问题的情境，激发学生学习兴趣，提出问题“方程不会解怎么办?”，并以此组织学生进行讨论，进而引出本节课的主题“函数的零点”，促进学生主动学习.

　　概念生成后，通过具体函数的零点求解，巩固概念、理解概念，明确求函数零点的基本方法：解方程.再次回到问题情境中“方程不会解怎么办?”，退而求其次，方程不会解，那能不能判断方程是否有实数根呢?进一步产生问题：“除了解方程，如何判断函数是否有零点?并以此判断方程是否有实数根”，体现函数的应用性.

　　引导学生从熟悉的二次方程和二次函数的联系出发，经历具体到抽象，特殊到一般的探究过程，发现零点存在性定理，最终应用定理解决问题情境中“方程是否有解的问题”，最后进行小结反思，教给学生方法，促进学生学会学习，提升数学素养.